Формула смешанного произведения трех векторов. Смешанное произведение векторов и его свойства. Свойства смешанного произведения

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить."

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2" и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

.

(7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a .

Смешанным произведением векторов называется число, равное скалярному произведению векторана векторное произведение векторови. Смешанное произведение обозначается.

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объемупараллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведениеположительно, если тройка векторов- правая, и отрицательно, если тройка- левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторыкомпланарны:

векторы компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где- угол между векторамии. Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площадипараллелограмма, построенного на векторахи: . Поэтому. Алгебраическое значениедлины проекции векторана ось, задаваемую вектором, равно по модулю высотепараллелепипеда, построенного на векторах(рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объемуэтого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройкаправая, тои смешанное произведениеположительно. Если же тройкалевая, тои смешанное произведениеотрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях:или(т.е.),или(т.е. векторпринадлежит плоскости векторови). В каждом случае векторыкомпланарны (см. разд. 1.1).

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное векторному произведению первых двух векторов,, умноженному скалярно на вектор. Векторами это можно представить так

Так как векторы на практике задают в координатной форме, то их смешанный произведение равен определитель, построенном на их координатамВ силу того, что векторное произведение антикомутативно, а скалярное произведение коммутативно, то циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не изменяет его значение. Перестановка двух соседних векторов меняет знак на противоположный

Смешанный произведение векторов положительный, если они образуют правую тройку и отрицательный - если левую.

Геометрические свойства смешанного произведения 1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах равен модулю смешанного произведения этих векторов.2. Объем четырехугольной пирамиды равен трети модуля смешанного произведения3. Объем треугольной пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения4. Векторы планарных тогда и только тогда, когдаВ координатах условие компланарности означает равенство нулю определителяДля практического усвоения рассмотрим примеры. Пример 1.

Определить, какой тройкой (правой или левой) являются векторы

Решение.

Найдем смешанное произведение векторов и по знаку выясним, какую тройку векторов они образуют

Векторы образуют правую тройку Векторы образуют правую тройкуВекторы образуют левую тройкуДанные векторы линейно зависимы.. Смешанным произведением трех векторов. Смешанным произведением трех векторов называется число

Геометрическое свойство смешанного произведения:

Теорема 10.1. Объём параллелепипеда, построенного на векторах равен модулю смешанного произведения этих векторов

или объём тетраэдра (пирамиды), построенного на векторах равен одной шестой модуля смешанного произведения

Доказательство. Из элементарной геометрии известно, что объём параллелепипеда равен произведению высоты на площадь основания

Площадь основания параллелепипеда S равна площади параллелограмма, построенного на векторах (см. рис. 1). Используя

Рис. 1. К доказательству теоремы 1. геометрический смысл векторного произведения векторов , получаем, что

Отсюда получаемЕсли тройка векторов левая, то вектор и вектор направлены противоположно, тогдаилиТаким образом, попутно доказано, что знак смешанного произведения определяет ориентацию тройки векторовтройка правая и ‑ тройка левая). Докажем теперь вторую часть теоремы. Из рис. 2 очевидно, что объем треугольной призмы, построенной на трех векторахравен половине объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, то есть
Рис. 2. К доказательству теоремы 1.

Но призма состоит из трех одинакового объема пирамид OABC , ABCD и ACDE . Действительно, объемы пирамид ABCD и ACDE равны, так как они имеют равные по площади основания BCD и CDE и одинаковую высоту, опущенную из вершины A . То же справедливо для высот и оснований пирамид OABC и ACDE. Отсюда

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Вытекает из геометрического смысла.
2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
   Вытекает из определения смешанного произведения.
3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
   Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

Определение. Число [, ] - называют смешанным произведение упорядоченной тройки векторов, .

Обозначаем: (,) = = [, ].

Так как в определении смешанного произведения участвуют векторное и скалярное произведения, то их общие свойства являются свойствами смешанного произведения.

Например, () = ().

Теорема 1 . Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю.

Доказательство. Если данная тройка векторов, компланарная, то для векторов выполняется одно их следующих условий.

• 1. В данной тройке векторов есть хотя бы один нулевой вектор. В этом случае доказательство теоремы очевидно.
• 2. В данной тройке векторов есть хотя бы одна пара коллинеарных векторов. Если ||, то [, ] = 0, так как [, ]= . Если

|| , то [, ] и [, ] = 0. Аналогично, если || .

3. Пусть данная тройка векторов компланарная, но случаи 1 и 2 не выполняются. Тогда вектор [, ] будет перпендикулярным плоскости, которой параллельны все три векторы, .

Следовательно, [, ] и (,) = 0.

Теорема 2. Пусть в базисе {} заданы векторы (), (), (). Тогда

Доказательство. Согласно определению смешанного произведения

(,) = [, ] = с 1 - с 2 + с 3 = .

В силу свойств определителя имеем:

Теорема доказана .

Теорема 3. (,) = [, ].

Доказательство . Так как

а в силу свойств определителя имеем:

(,) = = = [, ] = [, ].

Теорема доказана .

Теорема 4 . Модуль смешанного произведения некомпланарной тройки векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на представителях данных векторов с общим началом.

Доказательство . Выберем произвольную точку О и откладываем от нее представители данных векторов, : , . В плоскости ОАВ построим параллелограмм ОАDB и, добавляя ребро ОС, построим параллелепипед ОАDBCADB. Объём V этого параллелепипеда равен произведению площади основания ОАDB на длину высоты параллелепипеда ОО.

Площадь параллелограмма ОАDB равна |[, ]|. С другой стороны

|OO| = || |cos |, где - угол между векторами и [, ].

Рассмотрим модуль смешанного произведения:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Теорема доказана.

Замечание 1. Если смешанное произведение тройки векторов равно нулю, то эта тройка векторов линейно зависимая.

Замечание 2. Если смешанное произведение данной тройки векторов положительно, то тройка векторов правая, а если отрицательно, то тройка векторов левая. Действительно, знак смешанного произведения совпадает со знаком cos , а величина угла определяет ориентацию тройки, . Если угол - острый, то тройка правая, а если - тупой угол, то тройка левая.

Пример 1. Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и координаты следующих векторов в ортонормированном базисе: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Найти: 1) объем параллелепипеда;

• 2) площади граней ABCD и CDD 1 C;
• 3) косинус двугранного угла между плоскостями ABC и CDD 1 .

Решение.

Данный параллелепипед построен на векторах

Таким образом, его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов, т.е.

Итак, V пар = 12 куб.ед.

Напомним, что площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых он построен.

Введем обозначение: ,тогда

Следовательно, (6; - 8; - 2), откуда

Т.о. кв.ед.

Аналогично,

Пусть, тогда

откуда (15; - 20; 1) и

Значит кв.ед.

Введем следующие обозначения: пл. (АВС)=, пл. (DCC 1)=.

Согласно определению векторного произведения имеем:

А значит справедливо следующее равенство:

Из второго пункта решения имеем:

Доказать, что если, - взаимно перпендикулярные единичные векторы, то для любых векторов и справедливо равенство:

Решение.

Пусть в ортонормированном базисе, заданы координаты векторов: ; . Так как, то по свойству смешанного произведения имеем:

Таким образом, равенство (1) можно записать в следующей форме: , а это одно из доказанных свойств векторного произведения векторов и. Тем самым справедливость равенства (1) доказана.

Решение нулевого варианта контрольной работы

Задание № 1

Вектор образует с базисными векторами и соответственно, углы и. Определить угол, который образует вектор с вектором.

Решение .

Построим параллелепипед на векторах, и на диагонали, такой, что векторы и равны.

Тогда в прямоугольном треугольнике с прямым углом, величина угла равна, откуда.

Аналогично в прямоугольном треугольнике с прямым углом величина равна, откуда.

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора находим:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом катет, а гипотенуза. Значит, величина угла равна. Но угол равен углу между векторами и. Тем самым задача решена.

Задание № 2.

Заданы три вектора, в базисе,. Доказать, что четырехугольник - плоский. Найти его площадь.

Решение.

1. Если векторы, и компланарные, то - плоский четырехугольник. Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов.

Так как определитель равен нулю, то векторы, и компланарные, а значит, четырехугольник - плоский.

2. Заметим, что, поэтому и, таким образом четырехугольник трапеция с основаниями АВ и CD.

По свойству векторного произведения имеем:

Находим векторное произведение

Задание № 3. Найти вектор, коллинеарный вектору (2; 1; -2), у которого длина равна 5.

Решение.

Обозначим координаты вектора (х, у, z). Как известно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны, и поэтому имеем:

х = 2t, y = t, z = ? 2t.

По условию задачи || = 5, а в координатной форме:

Выражая переменные через параметр t, получим:

4t 2 +t 2 +4t 2 =25,

Таким образом,

х = , у = , z = .

Получили два решения.