Преобразование выражений с корнями и степенями часто требует выполнения переходов от корней к степеням и обратно. В этой статье мы разберем, как такие переходы осуществляются, что лежит в их основе, и в каких моментах чаще всего возникают ошибки. Все это снабдим характерными примерами с детальным разбором решений.
Навигация по странице.
Переход от степеней с дробными показателями к корням
Возможность перехода от степени с дробным показателем к корню диктуется самим определением степени. Напомним, как определяется : степенью положительного числа a
с дробным показателем m/n
, где m
– целое, а n
– натуральное число, называют корень n-ой степени из a m
, то есть, где a>0
, m∈Z
, n∈N
. Аналогично определяется и дробная степень нуля 
, с той лишь разницей, что в этом случае m
уже считается не целым, а натуральным, чтобы не возникало деления на нуль.
Таким образом, степень всегда можно заменить на корень . Например, от можно перейти к , а степень можно заменить корнем . А вот переходить от выражения к корню не следует, так как степень изначально не имеет смысла (степень отрицательных чисел не определена), несмотря на то, что корень имеет смысл.
Как видите, в переходе от степеней чисел к корням нет абсолютно ничего мудреного. Аналогично осуществляется переход к корням от степеней с дробными показателями, в основании которых находятся произвольные выражения. Заметим, что указанный переход осуществляется на ОДЗ переменных для исходного выражения. К примеру, выражение 
на всей ОДЗ переменной x
для этого выражения можно заменить корнем 
. А от степени 
перейти к корню 
, такая замена имеет место для любого набора переменных x
, y
и z
из ОДЗ для исходного выражения.
Замена корней степенями
Возможна и обратная замена, то есть, замена корней на степени с дробными показателями . В ее основе также лежит равенство , которое в данном случае используется справа налево, то есть, в виде .
Для положительных a указанный переход очевиден. Например, можно заменить степенью , а от корня перейти к степени с дробным показателем вида .
А при отрицательных a равенство не имеет смысла, но корень при этом может иметь смысл. Например, корни и имеют смысл, но заменить их степенями и нельзя. Так можно ли их вообще преобразовать в выражения со степенями? Можно, если провести предварительные преобразования, заключающиеся в переходе к корням с неотрицательными числами под ними, которые потом и заменить степенями с дробными показателями. Покажем, в чем заключаются эти предварительные преобразования и как их провести.
В случае с корнем позволяют выполнить такие преобразования: 
. А так как 4
– положительное число, то последний корень можно заменить степенью . А во втором случае определение корня нечетной степени из отрицательного числа
−a
(при этом a
– положительное), выражающееся равенством 
, позволяет корень заменить выражением , в котором кубический корень из двух уже можно заменить степенью, и оно примет вид .
Осталось разобрать, как заменяются корни, под которыми находятся выражения, на степени, содержащие эти выражения в основании. Здесь не стоит спешить с заменой на , буквой A мы обозначили некоторое выражение. Приведем пример, поясняющий, что под этим имеется в виду. Корень так и хочется заменить степенью , основываясь на равенстве . Но такая замена уместна лишь при условии x−3≥0 , а для остальных значений переменной x из ОДЗ (удовлетворяющих условию x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Из-за такого неаккуратного применения формулы нередко возникают ошибки при переходе от корней к степеням. Например, в учебнике
дано задание, представить выражение в виде степени с рациональным показателем, и приведен ответ , который вызывает вопросы, так как в условии не задано ограничение b>0
. А в учебнике
присутствует переход от выражения 
, скорее всего через следующие преобразования иррационального выражения 
к выражению . Последний переход также вызывает вопросы, так как сужает ОДЗ.
Возникает закономерный вопрос: «Как же правильно перейти от корня к степени для всех значений переменных из ОДЗ»? Такая замена проводится на базе следующих утверждений:
Прежде чем обосновать записанные результаты, приведем несколько примеров их использования для перехода от корней к степеням. Для начала вернемся к выражению . Его надо было заменять не на , а на (в данном случае m=2
– целое четное, n=3
– натуральное). Другой пример: 
.
Теперь обещанное обоснование результатов.
Когда m – целое нечетное, а n – натуральное четное, то для любого набора переменных из ОДЗ для выражения значение выражения A положительно (если m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ). Поэтому, .
Переходим ко второму результату. Пусть m
– целое положительное нечетное, а n
– натуральное нечетное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A
неотрицательно, 
, а для которых отрицательно,
Аналогично доказывается следующий результат для целых отрицательных и нечетных m
и натуральных нечетных n
. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A положительно, , а для которых отрицательно,
Наконец, последний результат. Пусть m
– целое четное, n
– любое натуральное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A
положительно (если m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . А для которых отрицательно, . Таким образом, если m
– целое четное, n
– любое натуральное, то для любого набора значений переменных из ОДЗ для выражения его можно заменить на .
Список литературы.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. – М.: Просвещение, 2009.- 336 с.: ил.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.
Переход от степеней с дробными показателями к корням
Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби - a m n . Как записать такое выражение в виде корня?
Ответ вытекает из самого определения степени!
Определение
Положительное число a в степени m n - это корень степени n из числа a m .
При этом, обязательно должно выполнятся условие:
a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .
Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0:
0 m n = 0 m n = 0 .
В соответствии с определением, степень a m n можно представить в виде корня a m n .
Например: 3 2 5 = 3 2 5 , 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4 .
Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .
Так, выражение - 8 1 3 нельзя представить в виде - 8 1 3 , так как запись - 8 1 3 попросту не имеет смысла - степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень - 8 1 3 имеет смысл.
Переход от степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее - ОДЗ) исходных выражений в основании степени.
Например, выражение x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 можно представить в виде квадратного корня x 2 + 2 x + 1 - 4 .Выражение в степени x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 переходит в выражение x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 для всех x , y , z из ОДЗ данного выражения.
Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:
Опять же, переход очевиден для положительных чисел a . Например, 7 6 4 = 7 6 4 , или 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3 .
Для отрицательных a корни имеют смысл. Например - 4 2 6 , - 2 3 . Однако, представить эти корни в виде степеней - 4 2 6 и - 2 1 3 нельзя.
Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.
Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования выражения - 4 2 6 .
4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .
Так как 4 > 0 , можно записать:
В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .
Тогда выражение - 2 3 примет вид:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.
Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением A m n в виде A m n . Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х - 3 2 3 , основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x - 3 2 3 . Такая замена возможна только при x - 3 ≥ 0 , а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула a m n = a m n не имеет смысла.
Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида A m n = A m n является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы A m n = A m n нередко возникают ошибки.
Чтобы правильно перейти от корня A m n к степени A m n , необходимо соблюдать несколько пунктов:
- В случае, если число m - целое и нечетное, а n - натуральное и четное, то формула A m n = A m n справедлива на всей ОДЗ переменных.
- Если m - целое и нечетное, а n - натуральное и нечетное,то выражение A m n можно заменить:
- на A m n для всех значений переменных, при которых A ≥ 0 ;
- на - - A m n для для всех значений переменных, при которых A < 0 ; - Если m - целое и четное, а n - любое натуральное число, то A m n можно заменить на A m n .
Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.
Вернемся к выражению х - 3 2 3 . Здесь m = 2 - целое и четное число, а n = 3 - натуральное число. Значит, выражение х - 3 2 3 правильно будет записать в виде:
х - 3 2 3 = x - 3 2 3 .
Приведем еще один пример с корнями и степенями.
Пример. Перевод корня в степень
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x < - 5
Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m - целое и нечетное, а n - натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении A m n значение A положительно или неотрицательно (при m > 0). Именно поэтому A m n = A m n .
Во втором варианте, когда m - целое, положительное и нечетное, а n - натуральное и нечетное, значения A m n разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, A m n = A m n = A m n . Для переменных, при которых A отрицательно, получаем A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .
Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m - целое и четное, а n - любое натуральное число. Если значение A положительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ A m n = A m n = A m n . Для отрицательных A получаем A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .
Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать A m n = A m n .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,
нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.
Операции со степенями.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :
a m · a n = a m + n .
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.
( abc … ) n = a n · b n · c n …
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
( a / b ) n = a n / b n .
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
(a m ) n = a m n .
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Т еперь формула a m : a n = a m - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :
О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.
В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.
Случай 3.
0 0 - любое число.
Действительно,
Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:
1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению
(Почему?).
2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,
что x – любое число; но принимая во внимание, что в
Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;
3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,
В этом случае нет решения.
Таким образом, x > 0.
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n -ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m ·a n = a m + n .
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
(a/b) n = a n /b n .
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
(a m) n = a m n .
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Формулу a m :a n =a m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n .
Например . a 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Чтобы формула a m :a n =a m - n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .